Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \log{\left(\cos{\left(x - 1 \right)} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(x - 1 \right)} \right)}}{x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\cos{\left(x - 1 \right)} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\sin{\left(x - 1 \right)}}{\cos{\left(x - 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sin{\left(x - 1 \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sin{\left(x - 1 \right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)