Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(4 x^{2} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{4 \cos{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{4 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{4}\right)}{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(2 x^{2} + \frac{1}{2}\right) \cos{\left(x \right)}}{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} - \frac{1}{8}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} - \frac{1}{8}$$
=
$$- \frac{1}{8}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)