Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de ((4+3*x)/(-2+3*x))^(-7+5*x)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos + tres *x)/(- uno +sqrt(uno + tres *x))
- (x al cuadrado más 3 multiplicar por x) dividir por ( menos 1 más raíz cuadrada de (1 más 3 multiplicar por x))
- (x en el grado dos más tres multiplicar por x) dividir por ( menos uno más raíz cuadrada de (uno más tres multiplicar por x))
- (x^2+3*x)/(-1+√(1+3*x))
- (x2+3*x)/(-1+sqrt(1+3*x))
- x2+3*x/-1+sqrt1+3*x
- (x²+3*x)/(-1+sqrt(1+3*x))
- (x en el grado 2+3*x)/(-1+sqrt(1+3*x))
- (x^2+3x)/(-1+sqrt(1+3x))
- (x2+3x)/(-1+sqrt(1+3x))
- x2+3x/-1+sqrt1+3x
- x^2+3x/-1+sqrt1+3x
- (x^2+3*x) dividir por (-1+sqrt(1+3*x))
-
Expresiones semejantes
- (x^2+3*x)/(-1+sqrt(1-3*x))
- (x^2-3*x)/(-1+sqrt(1+3*x))
- (x^2+3*x)/(-1-sqrt(1+3*x))
- (x^2+3*x)/(1+sqrt(1+3*x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-1+x^2)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(x))
- sqrt(n^2+2*n)-n
- sqrt(n)*(1+(1+n)^2)/(sqrt(1+n)*(1+n^2))
Límite de la función (x^2+3*x)/(-1+sqrt(1+3*x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| x + 3*x |
lim |----------------|
x->0+| _________|
\-1 + \/ 1 + 3*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right)$$
Limit((x^2 + 3*x)/(-1 + sqrt(1 + 3*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- \sqrt{3 x + 1} - 1$$
obtendremos
$$\frac{\left(x^{2} + 3 x\right) \left(- \sqrt{3 x + 1} - 1\right)}{\left(- \sqrt{3 x + 1} - 1\right) \left(\sqrt{3 x + 1} - 1\right)}$$
=
$$\frac{x \left(x + 3\right) \left(- \sqrt{3 x + 1} - 1\right)}{\left(-1\right) 3 x}$$
=
$$\frac{\left(x + 3\right) \left(\sqrt{3 x + 1} + 1\right)}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 3\right) \left(\sqrt{3 x + 1} + 1\right)}{3}\right)$$
=
$$2$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- \sqrt{3 x + 1} - 1$$
obtendremos
$$\frac{\left(x^{2} + 3 x\right) \left(- \sqrt{3 x + 1} - 1\right)}{\left(- \sqrt{3 x + 1} - 1\right) \left(\sqrt{3 x + 1} - 1\right)}$$
=
$$\frac{x \left(x + 3\right) \left(- \sqrt{3 x + 1} - 1\right)}{\left(-1\right) 3 x}$$
=
$$\frac{\left(x + 3\right) \left(\sqrt{3 x + 1} + 1\right)}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 3\right) \left(\sqrt{3 x + 1} + 1\right)}{3}\right)$$
=
$$2$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(x + 3\right)\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{3 x + 1} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(x + 3\right)}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(x + 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{3 x + 1} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(2 x + 3\right) \sqrt{3 x + 1}}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{3} + 2\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{3} + 2\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(x + 3\right)\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{3 x + 1} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(x + 3\right)}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(x + 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{3 x + 1} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(2 x + 3\right) \sqrt{3 x + 1}}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{3} + 2\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x}{3} + 2\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right) = 4$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right) = 4$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right) = - \infty i$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right) = 4$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right) = 4$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right) = - \infty i$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| x + 3*x |
lim |----------------|
x->0+| _________|
\-1 + \/ 1 + 3*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right)$$
2
$$2$$
= 2
/ 2 \
| x + 3*x |
lim |----------------|
x->0-| _________|
\-1 + \/ 1 + 3*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + 3 x}{\sqrt{3 x + 1} - 1}\right)$$
2
$$2$$
= 2
= 2