Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 3 \sin{\left(3 x \right)} + 9 \sin{\left(9 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(12 x \cos{\left(12 x \right)} + \sin{\left(12 x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 3 \sin{\left(3 x \right)} + 9 \sin{\left(9 x \right)}}{12 x \cos{\left(12 x \right)} + \sin{\left(12 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \left(- \sin{\left(3 x \right)} + 3 \sin{\left(9 x \right)}\right)}{12 x \cos{\left(12 x \right)} + \sin{\left(12 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 3 \sin{\left(3 x \right)} + 9 \sin{\left(9 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(12 x \cos{\left(12 x \right)} + \sin{\left(12 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 9 \cos{\left(3 x \right)} + 81 \cos{\left(9 x \right)}}{- 144 x \sin{\left(12 x \right)} + 24 \cos{\left(12 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 9 \cos{\left(3 x \right)} + 81 \cos{\left(9 x \right)}}{- 144 x \sin{\left(12 x \right)} + 24 \cos{\left(12 x \right)}}\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)