Sr Examen

Otras calculadoras:

x^2/(1-cos(x))
Límite de la función/ cos(x)/ x^2/(1-cos(x))

Límite de la función x^2/(1-cos(x))

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /     2    \
     |    x     |
 lim |----------|
x->0+\1 - cos(x)/
lim⁡x→0+(x21−cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) 
Limit(x^2/(1 - cos(x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→0+(x21−cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)
Usamos la fórmula trigonométrica
sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2

cambiamos
lim⁡x→0+(x21−cos⁡(x))=lim⁡x→0+(x22sin⁡2(x2))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)
=
(lim⁡x→0+(xsin⁡(x2)))22\frac{\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)\right)^{2}}{2}
lim⁡x→0+(xsin⁡(x2))=lim⁡u→0+(2usin⁡(u))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u}{\sin{\left(u \right)}}\right)
=
2lim⁡u→0+(usin⁡(u))2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)
=
2(lim⁡u→0+(sin⁡(u)u))−12 \left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}
El límite
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
(lim⁡x→0+(xsin⁡(x2)))22=(2lim⁡u→0+(usin⁡(u)))22\frac{\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)\right)^{2}}{2} = \frac{\left(2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)\right)^{2}}{2}
=
222\frac{2^{2}}{2}
=
22

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→0+(x21−cos⁡(x))=2\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = 2
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+x2=0\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(x21−cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddxx2ddx(1−cos⁡(x)))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)
=
lim⁡x→0+(2xsin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx2xddxsin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(2cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{\cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(2cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{\cos{\left(x \right)}}\right)
=
22
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010020000
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /     2    \
     |    x     |
 lim |----------|
x->0+\1 - cos(x)/
lim⁡x→0+(x21−cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) 
2
22 
= 2.0
     /     2    \
     |    x     |
 lim |----------|
x->0-\1 - cos(x)/
lim⁡x→0−(x21−cos⁡(x))\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) 
2
22 
= 2.0
= 2.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(x21−cos⁡(x))=2\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = 2
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(x21−cos⁡(x))=2\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = 2
lim⁡x→∞(x21−cos⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = \infty
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(x21−cos⁡(x))=−1−1+cos⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = - \frac{1}{-1 + \cos{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(x21−cos⁡(x))=−1−1+cos⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = - \frac{1}{-1 + \cos{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(x21−cos⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = \infty
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
2
22
Abrir y simplificar
Respuesta numérica [src] 
2.0
2.0
Gráfico
Límite de la función x^2/(1-cos(x))
    © Sr Examen – Калькулятор