Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)\right)^{2}}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$2 \left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$\frac{\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)\right)^{2}}{2} = \frac{\left(2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)\right)^{2}}{2}$$
=
$$\frac{2^{2}}{2}$$
=
$$2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = 2$$