Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(x)^2)/(x^2-sin(x)^2)
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de ((5-x)/(6-x))^(2+x)
-
Límite de (3-sqrt(x))/(4-sqrt(-2+2*x))
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x+sqrt(x))/(sqrt(x)+sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x))))
- raíz cuadrada de (x más raíz cuadrada de (x)) dividir por ( raíz cuadrada de (x) más raíz cuadrada de (x más raíz cuadrada de (x más raíz cuadrada de (x))))
- √(x+√(x))/(√(x)+√(x+√(x+√(x))))
- sqrtx+sqrtx/sqrtx+sqrtx+sqrtx+sqrtx
- sqrt(x+sqrt(x)) dividir por (sqrt(x)+sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x))))
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x+sqrt(x))/(sqrt(x)+sqrt(x+sqrt(x-sqrt(x))))
- sqrt(x+sqrt(x))/(sqrt(x)-sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x))))
- sqrt(x+sqrt(x))/(sqrt(x)+sqrt(x-sqrt(x+sqrt(x))))
- sqrt(x-sqrt(x))/(sqrt(x)+sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x))))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((-27+8*x^3)/(-9+4*x^2))
- sqrt((x+pi/2)^2)/log(1+cos(x))
- sqrt(x^3-2*x^2)-sqrt(x^3+3*x)
- sqrt(x*(3+x))-x
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(-3+x))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((-27+8*x^3)/(-9+4*x^2))
- sqrt((x+pi/2)^2)/log(1+cos(x))
- sqrt(x^3-2*x^2)-sqrt(x^3+3*x)
- sqrt(x*(3+x))-x
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(-3+x))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((-27+8*x^3)/(-9+4*x^2))
- sqrt((x+pi/2)^2)/log(1+cos(x))
- sqrt(x^3-2*x^2)-sqrt(x^3+3*x)
- sqrt(x*(3+x))-x
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(-3+x))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((-27+8*x^3)/(-9+4*x^2))
- sqrt((x+pi/2)^2)/log(1+cos(x))
- sqrt(x^3-2*x^2)-sqrt(x^3+3*x)
- sqrt(x*(3+x))-x
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(-3+x))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((-27+8*x^3)/(-9+4*x^2))
- sqrt((x+pi/2)^2)/log(1+cos(x))
- sqrt(x^3-2*x^2)-sqrt(x^3+3*x)
- sqrt(x*(3+x))-x
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(-3+x))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((-27+8*x^3)/(-9+4*x^2))
- sqrt((x+pi/2)^2)/log(1+cos(x))
- sqrt(x^3-2*x^2)-sqrt(x^3+3*x)
- sqrt(x*(3+x))-x
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(-3+x))
Límite de la función sqrt(x+sqrt(x))/(sqrt(x)+sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x))))
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___________ \
| / ___ |
| \/ x + \/ x |
lim |--------------------------------|
x->oo| ____________________|
| / ___________ |
| ___ / / ___ |
\\/ x + \/ x + \/ x + \/ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\sqrt{x} + x}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}}\right)$$
Limit(sqrt(x + sqrt(x))/(sqrt(x) + sqrt(x + sqrt(x + sqrt(x)))), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\sqrt{x} + x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\sqrt{x} + x}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{\sqrt{x} + x}}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4 \sqrt{x}}}{\sqrt{\sqrt{x} + x} \left(\frac{\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4 \sqrt{x}}}{2 \sqrt{\sqrt{x} + x}} + \frac{1}{2}}{\sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 \sqrt{\sqrt{x} + x} \left(\frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}} + \frac{1}{4 \sqrt{\sqrt{x} + x} \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{8 \sqrt{x} \sqrt{\sqrt{x} + x} \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 \sqrt{\sqrt{x} + x} \left(\frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}} + \frac{1}{4 \sqrt{\sqrt{x} + x} \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{8 \sqrt{x} \sqrt{\sqrt{x} + x} \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}}\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\sqrt{x} + x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\sqrt{x} + x}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{\sqrt{x} + x}}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4 \sqrt{x}}}{\sqrt{\sqrt{x} + x} \left(\frac{\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4 \sqrt{x}}}{2 \sqrt{\sqrt{x} + x}} + \frac{1}{2}}{\sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 \sqrt{\sqrt{x} + x} \left(\frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}} + \frac{1}{4 \sqrt{\sqrt{x} + x} \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{8 \sqrt{x} \sqrt{\sqrt{x} + x} \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 \sqrt{\sqrt{x} + x} \left(\frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}} + \frac{1}{4 \sqrt{\sqrt{x} + x} \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{8 \sqrt{x} \sqrt{\sqrt{x} + x} \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}}\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica