Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- (- uno +cos(x))/(tres *x^ dos)
- ( menos 1 más coseno de (x)) dividir por (3 multiplicar por x al cuadrado )
- ( menos uno más coseno de (x)) dividir por (tres multiplicar por x en el grado dos)
- (-1+cos(x))/(3*x2)
- -1+cosx/3*x2
- (-1+cos(x))/(3*x²)
- (-1+cos(x))/(3*x en el grado 2)
- (-1+cos(x))/(3x^2)
- (-1+cos(x))/(3x2)
- -1+cosx/3x2
- -1+cosx/3x^2
- (-1+cos(x)) dividir por (3*x^2)
-
Expresiones semejantes
- (-1-cos(x))/(3*x^2)
- (1+cos(x))/(3*x^2)
- (-1+cosx)/(3*x^2)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)/(-1+x)
- cos(x)/cos(2*x)
- cos(pi*x)^(sin(pi*x)/x)
- cos(-1+e^(x^2))/(-1+cos(x))
- cos(2*pi/x)/(-1+3*x)
Límite de la función (-1+cos(x))/(3*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/-1 + cos(x)\
lim |-----------|
x->0+| 2 |
\ 3*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right)$$
Limit((-1 + cos(x))/((3*x^2)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$- \frac{2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2}}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 u}\right)$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$- \frac{2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2}}{3} = - \frac{2 \left(\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}\right)^{2}}{3}$$
=
$$- \frac{2}{3 \cdot 4}$$
=
$$- \frac{1}{6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right) = - \frac{1}{6}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$- \frac{2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2}}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 u}\right)$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$- \frac{2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2}}{3} = - \frac{2 \left(\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}\right)^{2}}{3}$$
=
$$- \frac{2}{3 \cdot 4}$$
=
$$- \frac{1}{6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right) = - \frac{1}{6}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{6 x}\right)$$
=
$$- \frac{1}{6}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{6 x}\right)$$
=
$$- \frac{1}{6}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/-1 + cos(x)\
lim |-----------|
x->0+| 2 |
\ 3*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right)$$
-1/6
$$- \frac{1}{6}$$
= -0.166666666666667
/-1 + cos(x)\
lim |-----------|
x->0-| 2 |
\ 3*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right)$$
-1/6
$$- \frac{1}{6}$$
= -0.166666666666667
= -0.166666666666667
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right) = - \frac{1}{6}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right) = - \frac{1}{6}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right) = - \frac{1}{3} + \frac{\cos{\left(1 \right)}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right) = - \frac{1}{3} + \frac{\cos{\left(1 \right)}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right) = - \frac{1}{6}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right) = - \frac{1}{3} + \frac{\cos{\left(1 \right)}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right) = - \frac{1}{3} + \frac{\cos{\left(1 \right)}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{3 x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico