Límite de la función 2*cot(8*x)*sin(6*x)

Tenemos la indeterminación de tipo

0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \sin{\left(6 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cot{\left(8 x \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(6 x \right)} 2 \cot{\left(8 x \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \sin{\left(6 x \right)} \cot{\left(8 x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 \sin{\left(6 x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(8 x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{12 \cos{\left(6 x \right)} \cot^{2}{\left(8 x \right)}}{8 \cot^{2}{\left(8 x \right)} + 8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{12 \cot^{2}{\left(8 x \right)}}{8 \cot^{2}{\left(8 x \right)} + 8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{12 \cot^{2}{\left(8 x \right)}}{8 \cot^{2}{\left(8 x \right)} + 8}\right)$$
=
$$\frac{3}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)