Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- x*atan(dos *x)-pi*x/ dos
- x multiplicar por arco tangente de gente de (2 multiplicar por x) menos número pi multiplicar por x dividir por 2
- x multiplicar por arco tangente de gente de (dos multiplicar por x) menos número pi multiplicar por x dividir por dos
- xatan(2x)-pix/2
- xatan2x-pix/2
- x*atan(2*x)-pi*x dividir por 2
-
Expresiones semejantes
- x*atan(2*x)+pi*x/2
- x*arctan(2*x)-pi*x/2
-
Expresiones con funciones
- Arcotangente arctan
- atan(2*x)/tan(3*x)
- atan(2*x)/(5*x)
- atan(x)/tan(x)
- atan(2*x)/(2*sin(x))
- atan(2*x)/(3*x)
- Número Pi pi
- pi*x/2+(-2+x+x^3)*atan(1+x)/x^2
- pi*(-2-3*x+2*x^2)/cos(pi*x/4)
- pi/2-atan(2*x)
- Piecewise((3+2*x,x<1),(4*x,x=1),(2+x^2,x>1),(0,True))
- pi*(1+x)/(4*x)
Límite de la función x*atan(2*x)-pi*x/2
Solución
Ha introducido
[src]
/ pi*x\ lim |x*atan(2*x) - ----| x->oo\ 2 /
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right)$$
Limit(x*atan(2*x) - pi*x/2, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x}{2}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8}\right) \left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(4 x^{2} + 1\right) \left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)^{3}}{8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x \left(4 x^{2} + 1\right)}{8}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)^{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{8}\right) \left(4 x^{2} + 1\right) \left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)^{4}}{12}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{\left(\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{8}\right) \left(4 x^{2} + 1\right)}{12}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)^{4}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 2 x^{3} - \frac{x}{3}\right) \left(- 8 x^{2} \operatorname{atan}^{5}{\left(2 x \right)} + 20 \pi x^{2} \operatorname{atan}^{4}{\left(2 x \right)} - 20 \pi^{2} x^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(2 x \right)} + 10 \pi^{3} x^{2} \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)} - \frac{5 \pi^{4} x^{2} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\pi^{5} x^{2}}{4} - 2 \operatorname{atan}^{5}{\left(2 x \right)} + 5 \pi \operatorname{atan}^{4}{\left(2 x \right)} - 5 \pi^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(2 x \right)} + \frac{5 \pi^{3} \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{5 \pi^{4} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\pi^{5}}{16}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 2 x^{3} - \frac{x}{3}\right) \left(- 8 x^{2} \operatorname{atan}^{5}{\left(2 x \right)} + 20 \pi x^{2} \operatorname{atan}^{4}{\left(2 x \right)} - 20 \pi^{2} x^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(2 x \right)} + 10 \pi^{3} x^{2} \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)} - \frac{5 \pi^{4} x^{2} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\pi^{5} x^{2}}{4} - 2 \operatorname{atan}^{5}{\left(2 x \right)} + 5 \pi \operatorname{atan}^{4}{\left(2 x \right)} - 5 \pi^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(2 x \right)} + \frac{5 \pi^{3} \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{5 \pi^{4} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\pi^{5}}{16}\right)\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x}{2}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8}\right) \left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{8}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(4 x^{2} + 1\right) \left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)^{3}}{8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x \left(4 x^{2} + 1\right)}{8}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)^{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{8}\right) \left(4 x^{2} + 1\right) \left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)^{4}}{12}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{\left(\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{8}\right) \left(4 x^{2} + 1\right)}{12}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \pi\right)^{4}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 2 x^{3} - \frac{x}{3}\right) \left(- 8 x^{2} \operatorname{atan}^{5}{\left(2 x \right)} + 20 \pi x^{2} \operatorname{atan}^{4}{\left(2 x \right)} - 20 \pi^{2} x^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(2 x \right)} + 10 \pi^{3} x^{2} \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)} - \frac{5 \pi^{4} x^{2} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\pi^{5} x^{2}}{4} - 2 \operatorname{atan}^{5}{\left(2 x \right)} + 5 \pi \operatorname{atan}^{4}{\left(2 x \right)} - 5 \pi^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(2 x \right)} + \frac{5 \pi^{3} \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{5 \pi^{4} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\pi^{5}}{16}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 2 x^{3} - \frac{x}{3}\right) \left(- 8 x^{2} \operatorname{atan}^{5}{\left(2 x \right)} + 20 \pi x^{2} \operatorname{atan}^{4}{\left(2 x \right)} - 20 \pi^{2} x^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(2 x \right)} + 10 \pi^{3} x^{2} \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)} - \frac{5 \pi^{4} x^{2} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\pi^{5} x^{2}}{4} - 2 \operatorname{atan}^{5}{\left(2 x \right)} + 5 \pi \operatorname{atan}^{4}{\left(2 x \right)} - 5 \pi^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(2 x \right)} + \frac{5 \pi^{3} \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{5 \pi^{4} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\pi^{5}}{16}\right)\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = - \frac{\pi}{2} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = - \frac{\pi}{2} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = - \frac{\pi}{2} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = - \frac{\pi}{2} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo