Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función/ sin(x)/ -pi/2/ (x-pi/2)/(1-sin(x)^2)

Límite de la función (x-pi/2)/(1-sin(x)^2)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
      /       pi  \
      |   x - --  |
      |       2   |
 lim  |-----------|
   pi |       2   |
x->--+\1 - sin (x)/
   2
lim⁡x→π2+(x−π21−sin⁡2(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{x - \frac{\pi}{2}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}\right) 
Limit((x - pi/2)/(1 - sin(x)^2), x, pi/2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→π2+(x−π2)=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→π2+(1−sin⁡2(x))=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→π2+(x−π21−sin⁡2(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{x - \frac{\pi}{2}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→π2+(2x−π2(1−sin⁡2(x)))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{2 x - \pi}{2 \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)}\right)
=
lim⁡x→π2+(ddx(x−π2)ddx(1−sin⁡2(x)))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - \frac{\pi}{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)}\right)
=
lim⁡x→π2+(−12sin⁡(x)cos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{1}{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π2+(−12cos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{1}{2 \cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π2+(−12cos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{1}{2 \cos{\left(x \right)}}\right)
=
∞\infty
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.0-2000010000
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
oo
∞\infty
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→π2−(x−π21−sin⁡2(x))=∞\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{x - \frac{\pi}{2}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = \infty
Más detalles con x→pi/2 a la izquierda
lim⁡x→π2+(x−π21−sin⁡2(x))=∞\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{x - \frac{\pi}{2}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = \infty
lim⁡x→∞(x−π21−sin⁡2(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \frac{\pi}{2}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = \infty
Más detalles con x→oo
lim⁡x→0−(x−π21−sin⁡2(x))=−π2\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x - \frac{\pi}{2}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = - \frac{\pi}{2}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(x−π21−sin⁡2(x))=−π2\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - \frac{\pi}{2}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = - \frac{\pi}{2}
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(x−π21−sin⁡2(x))=−−2+π2cos⁡2(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x - \frac{\pi}{2}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = - \frac{-2 + \pi}{2 \cos^{2}{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(x−π21−sin⁡2(x))=−−2+π2cos⁡2(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - \frac{\pi}{2}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = - \frac{-2 + \pi}{2 \cos^{2}{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(x−π21−sin⁡2(x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \frac{\pi}{2}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}\right) = -\infty
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha [src] 
      /       pi  \
      |   x - --  |
      |       2   |
 lim  |-----------|
   pi |       2   |
x->--+\1 - sin (x)/
   2
lim⁡x→π2+(x−π21−sin⁡2(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{x - \frac{\pi}{2}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}\right) 
oo
∞\infty 
= 151.002207524883528967179897838299962809969595645206787396102131757891355310
      /       pi  \
      |   x - --  |
      |       2   |
 lim  |-----------|
   pi |       2   |
x->---\1 - sin (x)/
   2
lim⁡x→π2−(x−π21−sin⁡2(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{x - \frac{\pi}{2}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}\right) 
-oo
−∞-\infty 
= -151.002207524880736690835796146826620189444470776901149342247274922399904902
= -151.002207524880736690835796146826620189444470776901149342247274922399904902
Respuesta numérica [src] 
151.002207524883528967179897838299962809969595645206787396102131757891355310
151.002207524883528967179897838299962809969595645206787396102131757891355310
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