Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2*x^2+4*x^3+5*x)/(3*x^2+7*x)
-
Límite de ((3+x+x^2)/(3+2*x^2))^((-1+sqrt(9+5*x))/(-2+sqrt(4+x)))
-
Límite de (-3+4*x^2+11*x)/(-3+x^2+2*x)
-
Límite de 3+n+5*n^2/2
-
Expresiones idénticas
- sin(tres *x)^ dos /(uno -cos(dos *x)+x*sin(x))
- seno de (3 multiplicar por x) al cuadrado dividir por (1 menos coseno de (2 multiplicar por x) más x multiplicar por seno de (x))
- seno de (tres multiplicar por x) en el grado dos dividir por (uno menos coseno de (dos multiplicar por x) más x multiplicar por seno de (x))
- sin(3*x)2/(1-cos(2*x)+x*sin(x))
- sin3*x2/1-cos2*x+x*sinx
- sin(3*x)²/(1-cos(2*x)+x*sin(x))
- sin(3*x) en el grado 2/(1-cos(2*x)+x*sin(x))
- sin(3x)^2/(1-cos(2x)+xsin(x))
- sin(3x)2/(1-cos(2x)+xsin(x))
- sin3x2/1-cos2x+xsinx
- sin3x^2/1-cos2x+xsinx
- sin(3*x)^2 dividir por (1-cos(2*x)+x*sin(x))
-
Expresiones semejantes
- sin(3*x)^2/(1+cos(2*x)+x*sin(x))
- sin(3*x)^2/(1-cos(2*x)-x*sin(x))
- sin(3*x)^2/(1-cos(2*x)+x*sinx)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(7*pi*x)/tan(8*pi*x)
- sin(15*x)/(5*x)
- sin(x)^2/(x*cos(-1+cos(x)))
- sin(2*x)^4/(x^2+5*x^6*sin(x^2))
- sin(5*x^2)/atan(2*x)^2
- Coseno cos
- cos(2*x)*log(x)/x^2
- cos(x)^(1/log(1+sin(x)))
- cos(x/2)/(-4+x^2)
- cos(2*x)/(x^2*(-pi^2+16*x^2))
- cos(2*x)/(cos(x)*sin(x))
- Seno sin
- sin(7*pi*x)/tan(8*pi*x)
- sin(15*x)/(5*x)
- sin(x)^2/(x*cos(-1+cos(x)))
- sin(2*x)^4/(x^2+5*x^6*sin(x^2))
- sin(5*x^2)/atan(2*x)^2
Límite de la función sin(3*x)^2/(1-cos(2*x)+x*sin(x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| sin (3*x) |
lim |-----------------------|
x->pi+\1 - cos(2*x) + x*sin(x)/
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right)$$
Limit(sin(3*x)^2/(1 - cos(2*x) + x*sin(x)), x, pi)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \sin^{2}{\left(3 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} + 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(3 x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{6 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(- \frac{6 \sin{\left(3 x \right)}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 6 \sin{\left(3 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(- \frac{18 \cos{\left(3 x \right)}}{- x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{18}{- x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{18}{- x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \sin^{2}{\left(3 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} + 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(3 x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{6 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(- \frac{6 \sin{\left(3 x \right)}}{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 6 \sin{\left(3 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(- \frac{18 \cos{\left(3 x \right)}}{- x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{18}{- x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{18}{- x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| sin (3*x) |
lim |-----------------------|
x->pi+\1 - cos(2*x) + x*sin(x)/
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right)$$
0
$$0$$
= 3.50835464926747e-16
/ 2 \
| sin (3*x) |
lim |-----------------------|
x->pi-\1 - cos(2*x) + x*sin(x)/
$$\lim_{x \to \pi^-}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right)$$
0
$$0$$
= 3.50835464926742e-16
= 3.50835464926742e-16
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \pi^-}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→pi a la izquierda
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right) = - \frac{\sin^{2}{\left(3 \right)}}{-1 - \sin{\left(1 \right)} + \cos{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right) = - \frac{\sin^{2}{\left(3 \right)}}{-1 - \sin{\left(1 \right)} + \cos{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→pi a la izquierda
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right) = - \frac{\sin^{2}{\left(3 \right)}}{-1 - \sin{\left(1 \right)} + \cos{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right) = - \frac{\sin^{2}{\left(3 \right)}}{-1 - \sin{\left(1 \right)} + \cos{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}\right)$$
Más detalles con x→-oo