Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(7 x^{2} + 3 x + \sin{\left(x \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{4} + 8 x^{3}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(7 x^{2} + 3 x\right) + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{4} + 8 x^{3}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(7 x + 3\right) + \sin{\left(x \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{3} \left(x + 8\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(7 x^{2} + 3 x + \sin{\left(x \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \sqrt{x^{4} + 8 x^{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{14 x + \cos{\left(x \right)} + 3 + \frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{2 x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 8 x^{3}}} + \frac{12 x^{2}}{\sqrt{x^{4} + 8 x^{3}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(14 x + \cos{\left(x \right)} + 3 + \frac{1}{x^{2} + 1}\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{2 x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 8 x^{3}}} + \frac{12 x^{2}}{\sqrt{x^{4} + 8 x^{3}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{2 x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} - \sin{\left(x \right)} + 14}{- \frac{4 x^{6}}{x^{4} \sqrt{x^{4} + 8 x^{3}} + 8 x^{3} \sqrt{x^{4} + 8 x^{3}}} - \frac{48 x^{5}}{x^{4} \sqrt{x^{4} + 8 x^{3}} + 8 x^{3} \sqrt{x^{4} + 8 x^{3}}} - \frac{144 x^{4}}{x^{4} \sqrt{x^{4} + 8 x^{3}} + 8 x^{3} \sqrt{x^{4} + 8 x^{3}}} + \frac{6 x^{2}}{\sqrt{x^{4} + 8 x^{3}}} + \frac{24 x}{\sqrt{x^{4} + 8 x^{3}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{2 x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} - \sin{\left(x \right)} + 14}{- \frac{4 x^{6}}{x^{4} \sqrt{x^{4} + 8 x^{3}} + 8 x^{3} \sqrt{x^{4} + 8 x^{3}}} - \frac{48 x^{5}}{x^{4} \sqrt{x^{4} + 8 x^{3}} + 8 x^{3} \sqrt{x^{4} + 8 x^{3}}} - \frac{144 x^{4}}{x^{4} \sqrt{x^{4} + 8 x^{3}} + 8 x^{3} \sqrt{x^{4} + 8 x^{3}}} + \frac{6 x^{2}}{\sqrt{x^{4} + 8 x^{3}}} + \frac{24 x}{\sqrt{x^{4} + 8 x^{3}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(7 x^{2} + 3 x\right) + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{4} + 8 x^{3}}}\right)$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)