Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(10 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(10 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(10 x \right)}}{\tan{\left(10 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(10 x \right)}}{\frac{d}{d x} \tan{\left(10 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10}{\left(100 x^{2} + 1\right) \left(10 \tan^{2}{\left(10 x \right)} + 10\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10}{10 \tan^{2}{\left(10 x \right)} + 10}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{10}{10 \tan^{2}{\left(10 x \right)} + 10}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)