Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(\sqrt{x} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1}{2 \sqrt{x} \left(\cos{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\cos{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\cos{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)