Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+e^x)/x
-
Límite de (3-sqrt(5+x))/(1-sqrt(5-x))
-
Límite de x^2
-
Límite de (sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/x
-
Expresiones idénticas
- (uno -cos(seis *x))/(dos *x^ dos)
- (1 menos coseno de (6 multiplicar por x)) dividir por (2 multiplicar por x al cuadrado )
- (uno menos coseno de (seis multiplicar por x)) dividir por (dos multiplicar por x en el grado dos)
- (1-cos(6*x))/(2*x2)
- 1-cos6*x/2*x2
- (1-cos(6*x))/(2*x²)
- (1-cos(6*x))/(2*x en el grado 2)
- (1-cos(6x))/(2x^2)
- (1-cos(6x))/(2x2)
- 1-cos6x/2x2
- 1-cos6x/2x^2
- (1-cos(6*x)) dividir por (2*x^2)
-
Expresiones semejantes
- (1+cos(6*x))/(2*x^2)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)/x^2
- cos(3*x)*sin(2*x)/(cot(4*x)*sin(x))
- cos(pi*x)^(1/(x*sin(pi*x)))
- cos(5*x)*sin(2*x)/tan(x)
- cos(3*x)^(x^(-2))
Límite de la función (1-cos(6*x))/(2*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/1 - cos(6*x)\
lim |------------|
x->0+| 2 |
\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
Limit((1 - cos(6*x))/((2*x^2)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x}\right)\right)^{2}$$
Sustituimos
$$u = 3 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
=
$$3 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x}\right)\right)^{2} = \left(3 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{2}$$
=
$$3^{2}$$
=
$$9$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 9$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x}\right)\right)^{2}$$
Sustituimos
$$u = 3 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
=
$$3 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x}\right)\right)^{2} = \left(3 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{2}$$
=
$$3^{2}$$
=
$$9$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 9$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(6 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(6 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(6 x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(6 x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{2 x}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(9 \cos{\left(6 x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 9$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 9$$
=
$$9$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(6 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(6 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(6 x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(6 x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{2 x}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(9 \cos{\left(6 x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 9$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 9$$
=
$$9$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 9$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 9$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 9$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(6 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/1 - cos(6*x)\
lim |------------|
x->0+| 2 |
\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
9
$$9$$
= 9.0
/1 - cos(6*x)\
lim |------------|
x->0-| 2 |
\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(6 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
9
$$9$$
= 9.0
= 9.0
Gráfico