Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2^{x} + 3^{x} - 4^{x} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 4^{x} + \left(3^{x} + \left(2^{x} - 1\right)\right)}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2^{x} + 3^{x} - 4^{x} - 1}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2^{x} + 3^{x} - 4^{x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)} - 2 \cdot 4^{x} \log{\left(2 \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)} - 2 \cdot 4^{x} \log{\left(2 \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)$$
=
$$- \log{\left(2 \right)} + \log{\left(3 \right)}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)