Sr Examen

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Límite de la función/ -pi/2/ sin(x)/ (3-3*sin(x))/(x-pi/2)

Límite de la función (3-3*sin(x))/(x-pi/2)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
      /3 - 3*sin(x)\
 lim  |------------|
   pi |       pi   |
x->--+|   x - --   |
   2  \       2    /
lim⁡x→π2+(3−3sin⁡(x)x−π2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{3 - 3 \sin{\left(x \right)}}{x - \frac{\pi}{2}}\right) 
Limit((3 - 3*sin(x))/(x - pi/2), x, pi/2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→π2+(6−6sin⁡(x))=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(6 - 6 \sin{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→π2+(2x−π)=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(2 x - \pi\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→π2+(3−3sin⁡(x)x−π2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{3 - 3 \sin{\left(x \right)}}{x - \frac{\pi}{2}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→π2+(6(1−sin⁡(x))2x−π)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{6 \left(1 - \sin{\left(x \right)}\right)}{2 x - \pi}\right)
=
lim⁡x→π2+(ddx(6−6sin⁡(x))ddx(2x−π))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 - 6 \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x - \pi\right)}\right)
=
lim⁡x→π2+(−3cos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- 3 \cos{\left(x \right)}\right)
=
lim⁡x→π2+(−3cos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- 3 \cos{\left(x \right)}\right)
=
00
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.05-5
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
0
00
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→π2−(3−3sin⁡(x)x−π2)=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{3 - 3 \sin{\left(x \right)}}{x - \frac{\pi}{2}}\right) = 0
Más detalles con x→pi/2 a la izquierda
lim⁡x→π2+(3−3sin⁡(x)x−π2)=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{3 - 3 \sin{\left(x \right)}}{x - \frac{\pi}{2}}\right) = 0
lim⁡x→∞(3−3sin⁡(x)x−π2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 - 3 \sin{\left(x \right)}}{x - \frac{\pi}{2}}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→0−(3−3sin⁡(x)x−π2)=−6π\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 - 3 \sin{\left(x \right)}}{x - \frac{\pi}{2}}\right) = - \frac{6}{\pi}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(3−3sin⁡(x)x−π2)=−6π\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 - 3 \sin{\left(x \right)}}{x - \frac{\pi}{2}}\right) = - \frac{6}{\pi}
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(3−3sin⁡(x)x−π2)=−6+6sin⁡(1)−2+π\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 - 3 \sin{\left(x \right)}}{x - \frac{\pi}{2}}\right) = \frac{-6 + 6 \sin{\left(1 \right)}}{-2 + \pi}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(3−3sin⁡(x)x−π2)=−6+6sin⁡(1)−2+π\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 - 3 \sin{\left(x \right)}}{x - \frac{\pi}{2}}\right) = \frac{-6 + 6 \sin{\left(1 \right)}}{-2 + \pi}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(3−3sin⁡(x)x−π2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 - 3 \sin{\left(x \right)}}{x - \frac{\pi}{2}}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha [src] 
      /3 - 3*sin(x)\
 lim  |------------|
   pi |       pi   |
x->--+|   x - --   |
   2  \       2    /
lim⁡x→π2+(3−3sin⁡(x)x−π2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{3 - 3 \sin{\left(x \right)}}{x - \frac{\pi}{2}}\right) 
0
00 
= -9.18485099360515e-17
      /3 - 3*sin(x)\
 lim  |------------|
   pi |       pi   |
x->---|   x - --   |
   2  \       2    /
lim⁡x→π2−(3−3sin⁡(x)x−π2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{3 - 3 \sin{\left(x \right)}}{x - \frac{\pi}{2}}\right) 
0
00 
= -9.18485099360514e-17
= -9.18485099360514e-17
Respuesta numérica [src] 
-9.18485099360515e-17
-9.18485099360515e-17
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