Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(6 - 6 \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(2 x - \pi\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{3 - 3 \sin{\left(x \right)}}{x - \frac{\pi}{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{6 \left(1 - \sin{\left(x \right)}\right)}{2 x - \pi}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 - 6 \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x - \pi\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- 3 \cos{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- 3 \cos{\left(x \right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)