Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno +x^(- cuatro))- uno /x^ dos
- raíz cuadrada de (1 más x en el grado ( menos 4)) menos 1 dividir por x al cuadrado
- raíz cuadrada de (uno más x en el grado ( menos cuatro)) menos uno dividir por x en el grado dos
- √(1+x^(-4))-1/x^2
- sqrt(1+x(-4))-1/x2
- sqrt1+x-4-1/x2
- sqrt(1+x^(-4))-1/x²
- sqrt(1+x en el grado (-4))-1/x en el grado 2
- sqrt1+x^-4-1/x^2
- sqrt(1+x^(-4))-1 dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1-x^(-4))-1/x^2
- sqrt(1+x^(-4))+1/x^2
- sqrt(1+x^(4))-1/x^2
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2+x^2+4*x)-sqrt(2+x^2-2*x)
- sqrt(n+n^2)-n
- sqrt(2+x)-(20+x)^(1/3)
- sqrt(1+x^2)-sqrt(x^2+9*x)
- sqrt(x)-sqrt(-1+x)
Límite de la función sqrt(1+x^(-4))-1/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________ \
| / 1 1 |
lim | / 1 + -- - --|
x->0+| / 4 2|
\\/ x x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$
Limit(sqrt(1 + x^(-4)) - 1/x^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \sqrt{\frac{x^{4} + 1}{x^{4}}} - 1}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{2}{x^{3} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{2}{x^{3} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{2}{x^{8} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} + x^{4} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}} + \frac{1}{x^{4} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{2}{x^{8} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} + x^{4} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}} + \frac{1}{x^{4} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \sqrt{\frac{x^{4} + 1}{x^{4}}} - 1}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{2}{x^{3} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{2}{x^{3} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{2}{x^{8} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} + x^{4} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}} + \frac{1}{x^{4} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{2}{x^{8} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} + x^{4} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}} + \frac{1}{x^{4} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{1}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{1}{x^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{1}{x^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{1}{x^{2}}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{1}{x^{2}}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{1}{x^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{1}{x^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{1}{x^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{1}{x^{2}}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{1}{x^{2}}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{1}{x^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ ________ \
| / 1 1 |
lim | / 1 + -- - --|
x->0+| / 4 2|
\\/ x x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$
0
$$0$$
= 3.60790250825221e-31
/ ________ \
| / 1 1 |
lim | / 1 + -- - --|
x->0-| / 4 2|
\\/ x x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$
0
$$0$$
= 3.60790250825221e-31
= 3.60790250825221e-31