Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x/(-2+x)
-
Límite de x^(-2)
-
Límite de (-4+x^2)/(6+x^2-5*x)
-
Límite de (2-sqrt(-3+x))/(-49+x^2)
-
Expresiones idénticas
- log(uno / dos +e^x/ dos)/x
- logaritmo de (1 dividir por 2 más e en el grado x dividir por 2) dividir por x
- logaritmo de (uno dividir por dos más e en el grado x dividir por dos) dividir por x
- log(1/2+ex/2)/x
- log1/2+ex/2/x
- log1/2+e^x/2/x
- log(1 dividir por 2+e^x dividir por 2) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- log(1/2-e^x/2)/x
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(1+x)/x
- log(x)/x^3
- log(cos(2*x))/x^2
- log(5-2*x)/(-2+sqrt(10-3*x))
- log(1+3*x^2)/(x^3-5*x^2)
Límite de la función log(1/2+e^x/2)/x
Solución
Ha introducido
[src]
/ / x\\
| |1 E ||
|log|- + --||
| \2 2 /|
lim |-----------|
x->0+\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x}\right)$$
Limit(log(1/2 + E^x/2)/x, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(e^{x} + 1 \right)} - \log{\left(2 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x} + 1}{2} \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\log{\left(e^{x} + 1 \right)} - \log{\left(2 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(e^{x} + 1 \right)} - \log{\left(2 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x} + 1}{2} \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\log{\left(e^{x} + 1 \right)} - \log{\left(2 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / x\\
| |1 E ||
|log|- + --||
| \2 2 /|
lim |-----------|
x->0+\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
/ / x\\
| |1 E ||
|log|- + --||
| \2 2 /|
lim |-----------|
x->0-\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
= 0.5
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x}\right) = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x}\right) = - \log{\left(2 \right)} + \log{\left(1 + e \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x}\right) = - \log{\left(2 \right)} + \log{\left(1 + e \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x}\right) = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x}\right) = - \log{\left(2 \right)} + \log{\left(1 + e \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x}\right) = - \log{\left(2 \right)} + \log{\left(1 + e \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo