Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-5+x)/(-25+x^2)
-
Límite de (-1+e^x)/x
-
Límite de (x^2-2*x)/(4+x^2-4*x)
-
Límite de (1+x)^(1/x)
-
Expresiones idénticas
- x*(sqrt(uno +x^ dos)-x)
- x multiplicar por ( raíz cuadrada de (1 más x al cuadrado ) menos x)
- x multiplicar por ( raíz cuadrada de (uno más x en el grado dos) menos x)
- x*(√(1+x^2)-x)
- x*(sqrt(1+x2)-x)
- x*sqrt1+x2-x
- x*(sqrt(1+x²)-x)
- x*(sqrt(1+x en el grado 2)-x)
- x(sqrt(1+x^2)-x)
- x(sqrt(1+x2)-x)
- xsqrt1+x2-x
- xsqrt1+x^2-x
-
Expresiones semejantes
- x*(sqrt(1-x^2)-x)
- x*(sqrt(1+x^2)+x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))-sqrt(x)
- sqrt(1+x^2)
- sqrt(n)*(sqrt(2+n)-sqrt(-3+n))
- sqrt(x+sqrt(x))-sqrt(x)
- sqrt(x)-1/(-1+x)
Límite de la función x*(sqrt(1+x^2)-x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ / ________ \\
| | / 2 ||
lim \x*\\/ 1 + x - x//
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right)$$
Limit(x*(sqrt(1 + x^2) - x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{- x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{- x + \sqrt{x^{2} + 1}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} - 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1}{- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} - 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1}{- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{- x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{- x + \sqrt{x^{2} + 1}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} - 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1}{- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} - 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + 1}{- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / ________ \\
| | / 2 ||
lim \x*\\/ 1 + x - x//
x->0+
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right)$$
0
$$0$$
= 1.95686383337009e-31
/ / ________ \\
| | / 2 ||
lim \x*\\/ 1 + x - x//
x->0-
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right)$$
0
$$0$$
= -2.02522334683385e-33
= -2.02522334683385e-33
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(- x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico