Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- n*(- uno +cos(uno /sqrt(n)))
- n multiplicar por ( menos 1 más coseno de (1 dividir por raíz cuadrada de (n)))
- n multiplicar por ( menos uno más coseno de (uno dividir por raíz cuadrada de (n)))
- n*(-1+cos(1/√(n)))
- n(-1+cos(1/sqrt(n)))
- n-1+cos1/sqrtn
- n*(-1+cos(1 dividir por sqrt(n)))
-
Expresiones semejantes
- n*(1+cos(1/sqrt(n)))
- n*(-1-cos(1/sqrt(n)))
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(sqrt(x))/x
- cos(x)/(1-sin(x))
- cos(4*x)*cot(5*x)*tan(3*x)/(cos(7*x)*cot(7*x)*sin(6*x))
- cos(x)/(1+x)
- cos(sqrt(x))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)/(100+x)
- sqrt(4+n)-sqrt(-1+n)
- sqrt(7)*(sqrt(7-x)-sqrt(7+x))/(7*x)
- sqrt(2+n)/sqrt(n)
- sqrt(1-cos(x^2))/(1-cos(x))
Límite de la función n*(-1+cos(1/sqrt(n)))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / / 1 \\\
lim |n*|-1 + cos|-----|||
n->oo| | | ___|||
\ \ \\/ n ///
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)\right)$$
Limit(n*(-1 + cos(1/(sqrt(n)))), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} n = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \frac{2 n^{\frac{3}{2}} \left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)^{2}}{\sin{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(- \frac{2 n^{\frac{3}{2}}}{\sin{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}}\right)}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \frac{\left(- \frac{3 \sqrt{n}}{\sin{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}}\right) \left(n^{\frac{3}{2}} \cos^{3}{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 3 n^{\frac{3}{2}} \cos^{2}{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} + 3 n^{\frac{3}{2}} \cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - n^{\frac{3}{2}}\right)}{\sin{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \frac{\left(- \frac{3 \sqrt{n}}{\sin{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}}\right) \left(n^{\frac{3}{2}} \cos^{3}{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 3 n^{\frac{3}{2}} \cos^{2}{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} + 3 n^{\frac{3}{2}} \cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - n^{\frac{3}{2}}\right)}{\sin{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} n = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \frac{2 n^{\frac{3}{2}} \left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)^{2}}{\sin{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(- \frac{2 n^{\frac{3}{2}}}{\sin{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}}\right)}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \frac{\left(- \frac{3 \sqrt{n}}{\sin{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}}\right) \left(n^{\frac{3}{2}} \cos^{3}{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 3 n^{\frac{3}{2}} \cos^{2}{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} + 3 n^{\frac{3}{2}} \cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - n^{\frac{3}{2}}\right)}{\sin{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \frac{\left(- \frac{3 \sqrt{n}}{\sin{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}}\right) \left(n^{\frac{3}{2}} \cos^{3}{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 3 n^{\frac{3}{2}} \cos^{2}{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} + 3 n^{\frac{3}{2}} \cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - n^{\frac{3}{2}}\right)}{\sin{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)}}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(n \left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)\right) = \lim_{n \to 0^-}\left(n \cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - n\right)$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(n \left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(n \left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)\right) = -1 + \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(n \left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)\right) = -1 + \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(n \left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(n \left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)\right) = \lim_{n \to 0^-}\left(n \cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - n\right)$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(n \left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(n \left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)\right) = -1 + \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(n \left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)\right) = -1 + \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(n \left(\cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)} - 1\right)\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con n→-oo