Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cos{\left(7 x \right)} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(\cos{\left(7 x \right)} - 1\right) \log{\left(2 x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\cos{\left(7 x \right)} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(7 x \left(\log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right)^{2} \sin{\left(7 x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(7 x \left(\log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right)^{2} \sin{\left(7 x \right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)