Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(3 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(10 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x^{2} \right)} \tan{\left(3 x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x^{2} \right)} \tan{\left(3 x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(3 x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{\log{\left(10 \right)}}{\log{\left(x^{2} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x \left(3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 3\right) \log{\left(x^{2} \right)}^{2}}{2 \log{\left(10 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x \left(3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 3\right) \log{\left(x^{2} \right)}^{2}}{2 \log{\left(10 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)