Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\tan{\left(x - 3 \right)}}{3}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x - 3\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\tan{\left(x - 3 \right)}}{3 x - 9}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\tan{\left(x - 3 \right)}}{3 \left(x - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\tan{\left(x - 3 \right)}}{3}}{\frac{d}{d x} \left(x - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x - 3 \right)}}{3} + \frac{1}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x - 3 \right)}}{3} + \frac{1}{3}\right)$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)