Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)}}{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}^{2}{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{\left(4 x^{2} + 1\right) \left(\sin{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 4 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8}{\left(4 x^{2} + 1\right) \left(\cos{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(3 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8}{\cos{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8}{\cos{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)