Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(4 x^{3} + 1 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \log{\left(2 \right)} \sin^{3}{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(4 x^{3} + 1 \right)}}{\log{\left(4 \right)} \sin^{3}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(4 x^{3} + 1 \right)}}{\log{\left(4 \right)} \sin^{3}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(4 x^{3} + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} 2 \log{\left(2 \right)} \sin^{3}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\left(4 x^{3} + 1\right) \log{\left(2 \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\log{\left(2 \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\log{\left(2 \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\frac{1}{4 \log{\left(2 \right)}}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)