Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\log{\left(\sin{\left(7 x \right)} \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(7 x \right)} \right)}}{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\sin{\left(7 x \right)} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \log{\left(\sin{\left(7 x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{7 \log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \log{\left(\sin{\left(7 x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(7 x \right)}}{7 \log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \log{\left(\sin{\left(7 x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(7 x \right)}}{7 \log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)