Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} - \sqrt{x^{2}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x^{2}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}}} - 1\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - \sqrt{x^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - \sqrt{x^{2}}\right)}{\frac{d}{d x} \sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(2 x - \frac{\sqrt{x^{2}}}{x}\right)}{\sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(2 x - \frac{\sqrt{x^{2}}}{x}\right)}{\sqrt{x^{2}}}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)