Tenemos la indeterminación de tipo
-oo*i/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)} = - \infty i$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5^{2 x} - 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{5^{2 x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(5^{2 x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{- 2 x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \log{\left(5 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{- 2 x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \log{\left(5 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)