Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{x} + x^{5} + x^{4} + 2 x\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{x + 1} + \left(3 \sqrt{x} + x^{4}\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(3 \sqrt{x} + x^{4}\right) \left(x + 1\right)}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{x} + x^{5} + x^{4} + 2 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 \sqrt{x}}{2} + 5 x^{4} + 4 x^{3} + 2 + \frac{3}{2 \sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 \sqrt{x}}{2} + 5 x^{4} + 4 x^{3} + 2 + \frac{3}{2 \sqrt{x}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)