Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(2^{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{2^{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 1}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2^{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- 2 \cdot 2^{\cos^{2}{\left(x \right)}} \log{\left(2 \right)} \sin^{2}{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- 2 \log{\left(2 \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- 2 \log{\left(2 \right)}\right)$$
=
$$- 2 \log{\left(2 \right)}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)