Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- (- tres +sqrt(nueve +x))/(x+x^ dos)
- ( menos 3 más raíz cuadrada de (9 más x)) dividir por (x más x al cuadrado )
- ( menos tres más raíz cuadrada de (nueve más x)) dividir por (x más x en el grado dos)
- (-3+√(9+x))/(x+x^2)
- (-3+sqrt(9+x))/(x+x2)
- -3+sqrt9+x/x+x2
- (-3+sqrt(9+x))/(x+x²)
- (-3+sqrt(9+x))/(x+x en el grado 2)
- -3+sqrt9+x/x+x^2
- (-3+sqrt(9+x)) dividir por (x+x^2)
-
Expresiones semejantes
- (-3-sqrt(9+x))/(x+x^2)
- (-3+sqrt(9+x))/(x-x^2)
- (-3+sqrt(9-x))/(x+x^2)
- (3+sqrt(9+x))/(x+x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)*(sqrt(2+x)-sqrt(-3+x))
- sqrt(1+tan(x))-sqrt(1+sin(x))/x^3
- sqrt(x^2-3*x)-x
- sqrt(1+x^2)/x
- sqrt(8+x^3)*(sqrt(2+x^3)-sqrt(-1+x^3))
Límite de la función (-3+sqrt(9+x))/(x+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ _______\
|-3 + \/ 9 + x |
lim |--------------|
x->0+| 2 |
\ x + x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right)$$
Limit((-3 + sqrt(9 + x))/(x + x^2), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x + 9} + 3$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x} \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}{\sqrt{x + 9} + 3}$$
=
$$\frac{1}{\left(x + 1\right) \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}$$
=
$$\frac{1}{\left(x + 1\right) \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\left(x + 1\right) \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{6}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x + 9} + 3$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x} \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}{\sqrt{x + 9} + 3}$$
=
$$\frac{1}{\left(x + 1\right) \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}$$
=
$$\frac{1}{\left(x + 1\right) \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\left(x + 1\right) \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{6}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 9} - 3\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} + x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 9} - 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x + 9} \left(2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{6 \left(2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{6 \left(2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{6}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 9} - 3\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} + x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 9} - 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x + 9} \left(2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{6 \left(2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{6 \left(2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{6}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ _______\
|-3 + \/ 9 + x |
lim |--------------|
x->0+| 2 |
\ x + x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right)$$
1/6
$$\frac{1}{6}$$
= 0.166666666666667
/ _______\
|-3 + \/ 9 + x |
lim |--------------|
x->0-| 2 |
\ x + x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right)$$
1/6
$$\frac{1}{6}$$
= 0.166666666666667
= 0.166666666666667
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right) = \frac{1}{6}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right) = \frac{1}{6}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right) = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right) = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right) = \frac{1}{6}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right) = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right) = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico