Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- cuatro ^n/(n^ dos *log(n))
- 4 en el grado n dividir por (n al cuadrado multiplicar por logaritmo de (n))
- cuatro en el grado n dividir por (n en el grado dos multiplicar por logaritmo de (n))
- 4n/(n2*log(n))
- 4n/n2*logn
- 4^n/(n²*log(n))
- 4 en el grado n/(n en el grado 2*log(n))
- 4^n/(n^2log(n))
- 4n/(n2log(n))
- 4n/n2logn
- 4^n/n^2logn
- 4^n dividir por (n^2*log(n))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(cos(5*x))/log(cos(4*x))
- log(2*x)*log(-1+2*x)
- log(1+x^2-x)
- log(-3+x^2)/(2+x^2-3*x)
- log(x)/(1+2*log(x)*sin(x))
Límite de la función 4^n/(n^2*log(n))
Solución
Ha introducido
[src]
/ n \
| 4 |
lim |---------|
n->oo| 2 |
\n *log(n)/
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4^{n}}{n^{2} \log{\left(n \right)}}\right)$$
Limit(4^n/((n^2*log(n))), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4^{n}}{n^{2}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \log{\left(n \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4^{n}}{n^{2} \log{\left(n \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4^{n}}{n^{2} \log{\left(n \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{4^{n}}{n^{2}}}{\frac{d}{d n} \log{\left(n \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(\frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{2}} - \frac{2 \cdot 4^{n}}{n^{3}}\right)\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{2}} - \frac{2 \cdot 4^{n}}{n^{3}}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{2}} - \frac{2 \cdot 4^{n}}{n^{3}}\right)^{2}}{- \frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}^{2}}{n^{2}} + \frac{4 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{3}} - \frac{6 \cdot 4^{n}}{n^{4}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{2}} - \frac{2 \cdot 4^{n}}{n^{3}}\right)^{2}}{\frac{d}{d n} \left(- \frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}^{2}}{n^{2}} + \frac{4 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{3}} - \frac{6 \cdot 4^{n}}{n^{4}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{2}} - \frac{2 \cdot 4^{n}}{n^{3}}\right) \left(\frac{2 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}^{2}}{n^{2}} - \frac{8 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{3}} + \frac{12 \cdot 4^{n}}{n^{4}}\right)}{- \frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}^{3}}{n^{2}} + \frac{6 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}^{2}}{n^{3}} - \frac{18 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{4}} + \frac{24 \cdot 4^{n}}{n^{5}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{2}} - \frac{2 \cdot 4^{n}}{n^{3}}\right) \left(\frac{2 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}^{2}}{n^{2}} - \frac{8 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{3}} + \frac{12 \cdot 4^{n}}{n^{4}}\right)}{\frac{d}{d n} \left(- \frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}^{3}}{n^{2}} + \frac{6 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}^{2}}{n^{3}} - \frac{18 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{4}} + \frac{24 \cdot 4^{n}}{n^{5}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{64 \cdot 4^{2 n} \log{\left(2 \right)}^{4}}{n^{4}} - \frac{256 \cdot 4^{2 n} \log{\left(2 \right)}^{3}}{n^{5}} + \frac{464 \cdot 4^{2 n} \log{\left(2 \right)}^{2}}{n^{6}} - \frac{432 \cdot 4^{2 n} \log{\left(2 \right)}}{n^{7}} + \frac{168 \cdot 4^{2 n}}{n^{8}}}{- \frac{16 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}^{4}}{n^{2}} + \frac{64 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}^{3}}{n^{3}} - \frac{144 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}^{2}}{n^{4}} + \frac{192 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}}{n^{5}} - \frac{120 \cdot 4^{n}}{n^{6}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{64 \cdot 4^{2 n} \log{\left(2 \right)}^{4}}{n^{4}} - \frac{256 \cdot 4^{2 n} \log{\left(2 \right)}^{3}}{n^{5}} + \frac{464 \cdot 4^{2 n} \log{\left(2 \right)}^{2}}{n^{6}} - \frac{432 \cdot 4^{2 n} \log{\left(2 \right)}}{n^{7}} + \frac{168 \cdot 4^{2 n}}{n^{8}}}{- \frac{16 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}^{4}}{n^{2}} + \frac{64 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}^{3}}{n^{3}} - \frac{144 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}^{2}}{n^{4}} + \frac{192 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}}{n^{5}} - \frac{120 \cdot 4^{n}}{n^{6}}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4^{n}}{n^{2}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \log{\left(n \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4^{n}}{n^{2} \log{\left(n \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4^{n}}{n^{2} \log{\left(n \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{4^{n}}{n^{2}}}{\frac{d}{d n} \log{\left(n \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(\frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{2}} - \frac{2 \cdot 4^{n}}{n^{3}}\right)\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{2}} - \frac{2 \cdot 4^{n}}{n^{3}}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{2}} - \frac{2 \cdot 4^{n}}{n^{3}}\right)^{2}}{- \frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}^{2}}{n^{2}} + \frac{4 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{3}} - \frac{6 \cdot 4^{n}}{n^{4}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{2}} - \frac{2 \cdot 4^{n}}{n^{3}}\right)^{2}}{\frac{d}{d n} \left(- \frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}^{2}}{n^{2}} + \frac{4 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{3}} - \frac{6 \cdot 4^{n}}{n^{4}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{2}} - \frac{2 \cdot 4^{n}}{n^{3}}\right) \left(\frac{2 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}^{2}}{n^{2}} - \frac{8 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{3}} + \frac{12 \cdot 4^{n}}{n^{4}}\right)}{- \frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}^{3}}{n^{2}} + \frac{6 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}^{2}}{n^{3}} - \frac{18 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{4}} + \frac{24 \cdot 4^{n}}{n^{5}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{2}} - \frac{2 \cdot 4^{n}}{n^{3}}\right) \left(\frac{2 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}^{2}}{n^{2}} - \frac{8 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{3}} + \frac{12 \cdot 4^{n}}{n^{4}}\right)}{\frac{d}{d n} \left(- \frac{4^{n} \log{\left(4 \right)}^{3}}{n^{2}} + \frac{6 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}^{2}}{n^{3}} - \frac{18 \cdot 4^{n} \log{\left(4 \right)}}{n^{4}} + \frac{24 \cdot 4^{n}}{n^{5}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{64 \cdot 4^{2 n} \log{\left(2 \right)}^{4}}{n^{4}} - \frac{256 \cdot 4^{2 n} \log{\left(2 \right)}^{3}}{n^{5}} + \frac{464 \cdot 4^{2 n} \log{\left(2 \right)}^{2}}{n^{6}} - \frac{432 \cdot 4^{2 n} \log{\left(2 \right)}}{n^{7}} + \frac{168 \cdot 4^{2 n}}{n^{8}}}{- \frac{16 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}^{4}}{n^{2}} + \frac{64 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}^{3}}{n^{3}} - \frac{144 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}^{2}}{n^{4}} + \frac{192 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}}{n^{5}} - \frac{120 \cdot 4^{n}}{n^{6}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{64 \cdot 4^{2 n} \log{\left(2 \right)}^{4}}{n^{4}} - \frac{256 \cdot 4^{2 n} \log{\left(2 \right)}^{3}}{n^{5}} + \frac{464 \cdot 4^{2 n} \log{\left(2 \right)}^{2}}{n^{6}} - \frac{432 \cdot 4^{2 n} \log{\left(2 \right)}}{n^{7}} + \frac{168 \cdot 4^{2 n}}{n^{8}}}{- \frac{16 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}^{4}}{n^{2}} + \frac{64 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}^{3}}{n^{3}} - \frac{144 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}^{2}}{n^{4}} + \frac{192 \cdot 4^{n} \log{\left(2 \right)}}{n^{5}} - \frac{120 \cdot 4^{n}}{n^{6}}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4^{n}}{n^{2} \log{\left(n \right)}}\right) = \infty$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{4^{n}}{n^{2} \log{\left(n \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{4^{n}}{n^{2} \log{\left(n \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{4^{n}}{n^{2} \log{\left(n \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{4^{n}}{n^{2} \log{\left(n \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{4^{n}}{n^{2} \log{\left(n \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{4^{n}}{n^{2} \log{\left(n \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{4^{n}}{n^{2} \log{\left(n \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{4^{n}}{n^{2} \log{\left(n \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{4^{n}}{n^{2} \log{\left(n \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{4^{n}}{n^{2} \log{\left(n \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo