Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+x^2)/(-1+x)
-
Límite de (1-cos(x))/x^2
-
Límite de sin(1/x)
-
Límite de (-2+sqrt(1+x))/(-3+x)
-
Expresiones idénticas
- x-sqrt(x^ dos -a^ dos)
- x menos raíz cuadrada de (x al cuadrado menos a al cuadrado )
- x menos raíz cuadrada de (x en el grado dos menos a en el grado dos)
- x-√(x^2-a^2)
- x-sqrt(x2-a2)
- x-sqrtx2-a2
- x-sqrt(x²-a²)
- x-sqrt(x en el grado 2-a en el grado 2)
- x-sqrtx^2-a^2
-
Expresiones semejantes
- x+sqrt(x^2-a^2)
- x-sqrt(x^2+a^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(4+x^2)-x
- sqrt(1+x)-sqrt(1-x)/x
- sqrt(-4+6*x)/(-2+sqrt(x))
- sqrt(x+9*x^2)-3*x
- sqrt(1+x)/(-3+x)
Límite de la función x-sqrt(x^2-a^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ _________\
| / 2 2 |
lim \x - \/ x - a /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right)$$
Limit(x - sqrt(x^2 - a^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{- a^{2} + x^{2}}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right) \left(x + \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right)}{x + \sqrt{- a^{2} + x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \left(\sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right)^{2}}{x + \sqrt{- a^{2} + x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a^{2}}{x + \sqrt{- a^{2} + x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a^{2}}{x + \sqrt{- a^{2} + x^{2}}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a^{2}}{x \left(1 + \frac{\sqrt{- a^{2} + x^{2}}}{x}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a^{2}}{x \left(\sqrt{\frac{- a^{2} + x^{2}}{x^{2}}} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a^{2}}{x \left(\sqrt{- \frac{a^{2}}{x^{2}} + 1} + 1\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a^{2}}{x \left(\sqrt{- \frac{a^{2}}{x^{2}} + 1} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{a^{2} u}{\sqrt{- a^{2} u^{2} + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{0 a^{2}}{\sqrt{- 0^{2} a^{2} + 1} + 1} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{- a^{2} + x^{2}}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right) \left(x + \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right)}{x + \sqrt{- a^{2} + x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - \left(\sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right)^{2}}{x + \sqrt{- a^{2} + x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a^{2}}{x + \sqrt{- a^{2} + x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a^{2}}{x + \sqrt{- a^{2} + x^{2}}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a^{2}}{x \left(1 + \frac{\sqrt{- a^{2} + x^{2}}}{x}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a^{2}}{x \left(\sqrt{\frac{- a^{2} + x^{2}}{x^{2}}} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a^{2}}{x \left(\sqrt{- \frac{a^{2}}{x^{2}} + 1} + 1\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a^{2}}{x \left(\sqrt{- \frac{a^{2}}{x^{2}} + 1} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{a^{2} u}{\sqrt{- a^{2} u^{2} + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{0 a^{2}}{\sqrt{- 0^{2} a^{2} + 1} + 1} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right) = - \sqrt{- a^{2}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right) = - \sqrt{- a^{2}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right) = 1 - \sqrt{1 - a^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right) = 1 - \sqrt{1 - a^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right) = - \sqrt{- a^{2}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right) = - \sqrt{- a^{2}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right) = 1 - \sqrt{1 - a^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right) = 1 - \sqrt{1 - a^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \sqrt{- a^{2} + x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo