Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x^{2} + 4}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{x^{2} + 4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x^{2} + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{x^{2} + 4}\right) \left(x + \sqrt{x^{2} + 4}\right)}{x + \sqrt{x^{2} + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + 4}\right)^{2}}{x + \sqrt{x^{2} + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{x + \sqrt{x^{2} + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{x + \sqrt{x^{2} + 4}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{x \left(1 + \frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{x}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{x \left(\sqrt{\frac{x^{2} + 4}{x^{2}}} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{x \left(\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}} + 1\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{x \left(\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 u}{\sqrt{4 u^{2} + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 4}{1 + \sqrt{4 \cdot 0^{2} + 1}} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x^{2} + 4}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ ________ \
| / 2 |
lim \\/ 4 + x - x/
x->0+
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{x^{2} + 4}\right)$$
$$2$$
/ ________ \
| / 2 |
lim \\/ 4 + x - x/
x->0-
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{x^{2} + 4}\right)$$
$$2$$