Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \sin{\left(x^{2} \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \sin{\left(x^{2} \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\sqrt{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)