Sr Examen

Otras calculadoras:


(-3+sqrt(x))/(-81+x^2)

Límite de la función (-3+sqrt(x))/(-81+x^2)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /       ___\
     |-3 + \/ x |
 lim |----------|
x->9+|        2 |
     \ -81 + x  /
$$\lim_{x \to 9^+}\left(\frac{\sqrt{x} - 3}{x^{2} - 81}\right)$$
Limit((-3 + sqrt(x))/(-81 + x^2), x, 9)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 9^+}\left(\frac{\sqrt{x} - 3}{x^{2} - 81}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x} + 3$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x} - 3}{x^{2} - 81} \left(\sqrt{x} + 3\right)}{\sqrt{x} + 3}$$
=
$$\frac{1}{\left(\sqrt{x} + 3\right) \left(x + 9\right)}$$
=
$$\frac{1}{\left(\sqrt{x} + 3\right) \left(x + 9\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 9^+}\left(\frac{\sqrt{x} - 3}{x^{2} - 81}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 9^+}\left(\frac{1}{\left(\sqrt{x} + 3\right) \left(x + 9\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{108}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 9^+}\left(\sqrt{x} - 3\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 9^+}\left(x^{2} - 81\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 9^+}\left(\frac{\sqrt{x} - 3}{x^{2} - 81}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 9^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} - 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 81\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 9^+}\left(\frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 9^+} \frac{1}{108}$$
=
$$\lim_{x \to 9^+} \frac{1}{108}$$
=
$$\frac{1}{108}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 9^-}\left(\frac{\sqrt{x} - 3}{x^{2} - 81}\right) = \frac{1}{108}$$
Más detalles con x→9 a la izquierda
$$\lim_{x \to 9^+}\left(\frac{\sqrt{x} - 3}{x^{2} - 81}\right) = \frac{1}{108}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} - 3}{x^{2} - 81}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x} - 3}{x^{2} - 81}\right) = \frac{1}{27}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x} - 3}{x^{2} - 81}\right) = \frac{1}{27}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x} - 3}{x^{2} - 81}\right) = \frac{1}{40}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x} - 3}{x^{2} - 81}\right) = \frac{1}{40}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} - 3}{x^{2} - 81}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src]
1/108
$$\frac{1}{108}$$
A la izquierda y a la derecha [src]
     /       ___\
     |-3 + \/ x |
 lim |----------|
x->9+|        2 |
     \ -81 + x  /
$$\lim_{x \to 9^+}\left(\frac{\sqrt{x} - 3}{x^{2} - 81}\right)$$
1/108
$$\frac{1}{108}$$
= 0.00925925925925926
     /       ___\
     |-3 + \/ x |
 lim |----------|
x->9-|        2 |
     \ -81 + x  /
$$\lim_{x \to 9^-}\left(\frac{\sqrt{x} - 3}{x^{2} - 81}\right)$$
1/108
$$\frac{1}{108}$$
= 0.00925925925925926
= 0.00925925925925926
Respuesta numérica [src]
0.00925925925925926
0.00925925925925926
Gráfico
Límite de la función (-3+sqrt(x))/(-81+x^2)