Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\tan{\left(x - 2 \right)}}{x}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x - 2\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\tan{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 2 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\tan{\left(x - 2 \right)}}{x \left(x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\tan{\left(x - 2 \right)}}{x}}{\frac{d}{d x} \left(x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x - 2 \right)}}{x} + \frac{1}{x} - \frac{\tan{\left(x - 2 \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x - 2 \right)}}{x} + \frac{1}{x} - \frac{\tan{\left(x - 2 \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)