Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- x*(- uno +sqrt(x/(uno +x)))
- x multiplicar por ( menos 1 más raíz cuadrada de (x dividir por (1 más x)))
- x multiplicar por ( menos uno más raíz cuadrada de (x dividir por (uno más x)))
- x*(-1+√(x/(1+x)))
- x(-1+sqrt(x/(1+x)))
- x-1+sqrtx/1+x
- x*(-1+sqrt(x dividir por (1+x)))
-
Expresiones semejantes
- x*(-1-sqrt(x/(1+x)))
- x*(-1+sqrt(x/(1-x)))
- x*(1+sqrt(x/(1+x)))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(-3+x^2)
- sqrt(x^2+3*x)-x
- sqrt(-1+x^2-2*x)-sqrt(3+x^2-7*x)
- sqrt(x)*(pi-2*atan(sqrt(x)))
- sqrt(2+x^2-3*x)-x
Límite de la función x*(-1+sqrt(x/(1+x)))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / _______\\
| | / x ||
lim |x*|-1 + / ----- ||
x->oo\ \ \/ 1 + x //
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1\right)\right)$$
Limit(x*(-1 + sqrt(x/(1 + x))), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x \left(\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1\right)^{2}}{\sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{2 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right) \left(- \frac{x}{\frac{x^{2}}{x + 1} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x + 1}} + x} - \frac{1}{\frac{x^{2}}{x + 1} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x + 1}} + x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right) \left(- \frac{x}{\frac{x^{2}}{x + 1} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x + 1}} + x} - \frac{1}{\frac{x^{2}}{x + 1} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x + 1}} + x}\right)}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x \left(\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1\right)^{2}}{\sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{2 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right) \left(- \frac{x}{\frac{x^{2}}{x + 1} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x + 1}} + x} - \frac{1}{\frac{x^{2}}{x + 1} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x + 1}} + x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right) \left(- \frac{x}{\frac{x^{2}}{x + 1} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x + 1}} + x} - \frac{1}{\frac{x^{2}}{x + 1} - 2 x \sqrt{\frac{x}{x + 1}} + x}\right)}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1\right)\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1\right)\right) = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1\right)\right) = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1\right)\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1\right)\right) = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1\right)\right) = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(\sqrt{\frac{x}{x + 1}} - 1\right)\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo