Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x + 8} - 3\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} + x - 2\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x + 8} - 3}{x^{2} + \left(x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 8} - 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x + 8} \left(2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{6 \left(2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{6 \left(2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{18}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)