Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-3+sqrt(4+x))/(-2+sqrt(-1+x))
-
Límite de ((5-x)/(6-x))^(2+x)
-
Límite de (-2+sqrt(x))/(-3+sqrt(1+2*x))
- Límite de (a^x-x^a)/(x-a)
-
Expresiones idénticas
- sqrt((uno +n)*(dos +n))-n
- raíz cuadrada de ((1 más n) multiplicar por (2 más n)) menos n
- raíz cuadrada de ((uno más n) multiplicar por (dos más n)) menos n
- √((1+n)*(2+n))-n
- sqrt((1+n)(2+n))-n
- sqrt1+n2+n-n
-
Expresiones semejantes
- sqrt((1-n)*(2+n))-n
- sqrt((1+n)*(2+n))+n
- sqrt((1+n)*(2-n))-n
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-1+2*x)-sqrt(1+2*x)
- sqrt(sin(1+x))-sqrt(sin(x))
- sqrt(-7+x)/(-4+sqrt(x))
- sqrt(3+x^2+6*x)-(4+x^2+7*x)^(1/7)
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(-3+x))
Límite de la función sqrt((1+n)*(2+n))-n
Solución
Ha introducido
[src]
/ _________________ \ lim \\/ (1 + n)*(2 + n) - n/ n->oo
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right)$$
Limit(sqrt((1 + n)*(2 + n)) - n, n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right) \left(n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right)}{n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{2} + \left(\sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right)^{2}}{n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{2} + \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}{n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{2} + \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}{n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{\sqrt{n^{2} + 3 n + 2}}{n}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{n}}{\sqrt{\frac{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}{n^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{n}}{\sqrt{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^{2}}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{n}}{\sqrt{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u + 3}{\sqrt{2 u^{2} + 3 u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 2 + 3}{1 + \sqrt{2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 3 + 1}} = \frac{3}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right) = \frac{3}{2}$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right) \left(n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right)}{n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{2} + \left(\sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right)^{2}}{n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{2} + \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}{n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{2} + \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}{n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{\sqrt{n^{2} + 3 n + 2}}{n}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{n}}{\sqrt{\frac{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}{n^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{n}}{\sqrt{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^{2}}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{n}}{\sqrt{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u + 3}{\sqrt{2 u^{2} + 3 u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 2 + 3}{1 + \sqrt{2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 3 + 1}} = \frac{3}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right) = \frac{3}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right) = \frac{3}{2}$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right) = -1 + \sqrt{6}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right) = -1 + \sqrt{6}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right) = -1 + \sqrt{6}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right) = -1 + \sqrt{6}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(- n + \sqrt{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con n→-oo