Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- -sin(tres *pi*x/ dos)/(tres *x)
- menos seno de (3 multiplicar por número pi multiplicar por x dividir por 2) dividir por (3 multiplicar por x)
- menos seno de (tres multiplicar por número pi multiplicar por x dividir por dos) dividir por (tres multiplicar por x)
- -sin(3pix/2)/(3x)
- -sin3pix/2/3x
- -sin(3*pi*x dividir por 2) dividir por (3*x)
-
Expresiones semejantes
- sin(3*pi*x/2)/(3*x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(2)^2/x
- sin(8*x)/(5*x)
- sin(12*x)/(3*x)
- sin(1/(-1+x))
- sin(x)^2+cos(x)
- Número Pi pi
- pi*x/2+(-2+x+x^3)*atan(1+x)/x^2
- pi*(-2-3*x+2*x^2)/cos(pi*x/4)
- pi/2-atan(2*x)
- Piecewise((3+2*x,x<1),(4*x,x=1),(2+x^2,x>1),(0,True))
- pi*(1+x)/(4*x)
Límite de la función -sin(3*pi*x/2)/(3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ /3*pi*x\ \
|-sin|------| |
| \ 2 / |
lim |-------------|
x->0+\ 3*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right)$$
Limit((-sin(((3*pi)*x)/2))/((3*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{3 \pi x}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{\pi \sin{\left(u \right)}}{2 u}\right)$$
=
$$- \frac{\pi \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right) = - \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{3 \pi x}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{\pi \sin{\left(u \right)}}{2 u}\right)$$
=
$$- \frac{\pi \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right) = - \frac{\pi}{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 3 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(- 3 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\pi \cos{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$- \frac{\pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 3 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(- 3 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\pi \cos{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$- \frac{\pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right) = - \frac{\pi}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right) = - \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right) = - \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ /3*pi*x\ \
|-sin|------| |
| \ 2 / |
lim |-------------|
x->0+\ 3*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right)$$
-pi ---- 2
$$- \frac{\pi}{2}$$
= -1.5707963267949
/ /3*pi*x\ \
|-sin|------| |
| \ 2 / |
lim |-------------|
x->0-\ 3*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(-1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{3 x}\right)$$
-pi ---- 2
$$- \frac{\pi}{2}$$
= -1.5707963267949
= -1.5707963267949