Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de x/sin(14*x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno + cuatro *x^ dos + seis *x)+ dos *x
- raíz cuadrada de (1 más 4 multiplicar por x al cuadrado más 6 multiplicar por x) más 2 multiplicar por x
- raíz cuadrada de (uno más cuatro multiplicar por x en el grado dos más seis multiplicar por x) más dos multiplicar por x
- √(1+4*x^2+6*x)+2*x
- sqrt(1+4*x2+6*x)+2*x
- sqrt1+4*x2+6*x+2*x
- sqrt(1+4*x²+6*x)+2*x
- sqrt(1+4*x en el grado 2+6*x)+2*x
- sqrt(1+4x^2+6x)+2x
- sqrt(1+4x2+6x)+2x
- sqrt1+4x2+6x+2x
- sqrt1+4x^2+6x+2x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1+4*x^2+6*x)-2*x
- sqrt(1+4*x^2-6*x)+2*x
- sqrt(1-4*x^2+6*x)+2*x
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-1+x^2)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(x))
- sqrt(n)*(1+(1+n)^2)/(sqrt(1+n)*(1+n^2))
- sqrt(10+2*x)-sqrt(20+x)
Límite de la función sqrt(1+4*x^2+6*x)+2*x
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________________ \
| / 2 |
lim \\/ 1 + 4*x + 6*x + 2*x/
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right)$$
Limit(sqrt(1 + 4*x^2 + 6*x) + 2*x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$- 2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right) \left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right)}{- 2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(- 2 x\right)^{2} + \left(\sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right)^{2}}{- 2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 1}{- 2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 1}{- 2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{1}{x}}{-2 + \frac{\sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x^{2}}} - 2}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 2}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 2}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u + 6}{\sqrt{u^{2} + 6 u + 4} - 2}\right)$$ =
= $$\frac{6}{-2 + \sqrt{0^{2} + 0 \cdot 6 + 4}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$- 2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right) \left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right)}{- 2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(- 2 x\right)^{2} + \left(\sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right)^{2}}{- 2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 1}{- 2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 1}{- 2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{1}{x}}{-2 + \frac{\sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}{x^{2}}} - 2}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 2}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 2}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u + 6}{\sqrt{u^{2} + 6 u + 4} - 2}\right)$$ =
= $$\frac{6}{-2 + \sqrt{0^{2} + 0 \cdot 6 + 4}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right) = \infty$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right) = 2 + \sqrt{11}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right) = 2 + \sqrt{11}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right) = 2 + \sqrt{11}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right) = 2 + \sqrt{11}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x + \sqrt{6 x + \left(4 x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→-oo