$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x + 1 \right)} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \pi$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\cos{\left(x + 1 \right)} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = - \frac{\pi \cos{\left(1 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cos{\left(x + 1 \right)} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \frac{\pi \cos{\left(1 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha$$\lim_{x \to 1^-}\left(\cos{\left(x + 1 \right)} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \frac{\pi \cos{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\pi}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda$$\lim_{x \to 1^+}\left(\cos{\left(x + 1 \right)} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \frac{\pi \cos{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\pi}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x + 1 \right)} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = - \pi$$
Más detalles con x→-oo