Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-7*x+3*x^2)/(2-5*x+2*x^2)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (1+x)*(-1+x^3-2*x)/(-5+x^4+4*x^2)
-
Expresiones idénticas
- (- tres + tres *sqrt(uno +x))/(cinco *x)
- ( menos 3 más 3 multiplicar por raíz cuadrada de (1 más x)) dividir por (5 multiplicar por x)
- ( menos tres más tres multiplicar por raíz cuadrada de (uno más x)) dividir por (cinco multiplicar por x)
- (-3+3*√(1+x))/(5*x)
- (-3+3sqrt(1+x))/(5x)
- -3+3sqrt1+x/5x
- (-3+3*sqrt(1+x)) dividir por (5*x)
-
Expresiones semejantes
- (-3+3*sqrt(1-x))/(5*x)
- (3+3*sqrt(1+x))/(5*x)
- (-3-3*sqrt(1+x))/(5*x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-2+x^2+3*x)-sqrt(-3+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
- sqrt(9+x^2+4*x)-sqrt(11+x^2-8*x)
- sqrt(-1+n+n^2)-sqrt(1+n^2-n)
- sqrt(n^2+3*n)-n
Límite de la función (-3+3*sqrt(1+x))/(5*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ _______\
|-3 + 3*\/ 1 + x |
lim |----------------|
x->0+\ 5*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right)$$
Limit((-3 + 3*sqrt(1 + x))/((5*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\frac{3 \sqrt{x + 1}}{5} + \frac{3}{5}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x} \left(\frac{3 \sqrt{x + 1}}{5} + \frac{3}{5}\right)}{\frac{3 \sqrt{x + 1}}{5} + \frac{3}{5}}$$
=
$$\frac{9}{25 \left(\frac{3 \sqrt{x + 1}}{5} + \frac{3}{5}\right)}$$
=
$$\frac{9}{25 \left(\frac{3 \sqrt{x + 1}}{5} + \frac{3}{5}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9}{25 \left(\frac{3 \sqrt{x + 1}}{5} + \frac{3}{5}\right)}\right)$$
=
$$\frac{3}{10}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\frac{3 \sqrt{x + 1}}{5} + \frac{3}{5}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x} \left(\frac{3 \sqrt{x + 1}}{5} + \frac{3}{5}\right)}{\frac{3 \sqrt{x + 1}}{5} + \frac{3}{5}}$$
=
$$\frac{9}{25 \left(\frac{3 \sqrt{x + 1}}{5} + \frac{3}{5}\right)}$$
=
$$\frac{9}{25 \left(\frac{3 \sqrt{x + 1}}{5} + \frac{3}{5}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9}{25 \left(\frac{3 \sqrt{x + 1}}{5} + \frac{3}{5}\right)}\right)$$
=
$$\frac{3}{10}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 1} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 x}{3}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}{5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \frac{5 x}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3}{10 \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{3}{10}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{3}{10}$$
=
$$\frac{3}{10}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 1} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 x}{3}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}{5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \frac{5 x}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3}{10 \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{3}{10}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{3}{10}$$
=
$$\frac{3}{10}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right) = \frac{3}{10}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right) = \frac{3}{10}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right) = - \frac{3}{5} + \frac{3 \sqrt{2}}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right) = - \frac{3}{5} + \frac{3 \sqrt{2}}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right) = \frac{3}{10}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right) = - \frac{3}{5} + \frac{3 \sqrt{2}}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right) = - \frac{3}{5} + \frac{3 \sqrt{2}}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ _______\
|-3 + 3*\/ 1 + x |
lim |----------------|
x->0+\ 5*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right)$$
3/10
$$\frac{3}{10}$$
= 0.3
/ _______\
|-3 + 3*\/ 1 + x |
lim |----------------|
x->0-\ 5*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 \sqrt{x + 1} - 3}{5 x}\right)$$
3/10
$$\frac{3}{10}$$
= 0.3
= 0.3