Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- log(tan(x)/x)/(dos *x^ dos)
- logaritmo de ( tangente de (x) dividir por x) dividir por (2 multiplicar por x al cuadrado )
- logaritmo de ( tangente de (x) dividir por x) dividir por (dos multiplicar por x en el grado dos)
- log(tan(x)/x)/(2*x2)
- logtanx/x/2*x2
- log(tan(x)/x)/(2*x²)
- log(tan(x)/x)/(2*x en el grado 2)
- log(tan(x)/x)/(2x^2)
- log(tan(x)/x)/(2x2)
- logtanx/x/2x2
- logtanx/x/2x^2
- log(tan(x) dividir por x) dividir por (2*x^2)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(cos(3*x))/log(cos(2*x))
- log(sin(2*x))/log(sin(3*x))
- log(x)/x^(3/2)
- log(|x|)
- log(1-x)/(1+3*log(cos(pi*x/2)))
- Tangente tan
- tan(8*x)/(5*x)
- tan(6*x)/(3*x)
- tan(7*x)/x
- tan(9*x)/(8*x)
- tan(x)^2/(1-cos(x))
Límite de la función log(tan(x)/x)/(2*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ /tan(x)\\
|log|------||
| \ x /|
lim |-----------|
x->0+| 2 |
\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
Limit(log(tan(x)/x)/((2*x^2)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{\frac{d}{d x} 2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x} - \frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}}{4 \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x} - \frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{\frac{d}{d x} 4 \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \tan{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \tan^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{2 \tan{\left(x \right)}}{x^{3}}}{4 \tan^{2}{\left(x \right)} + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \tan{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \tan^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{2 \tan{\left(x \right)}}{x^{3}}}{4 \tan^{2}{\left(x \right)} + 4}\right)$$
=
$$\frac{1}{6}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{\frac{d}{d x} 2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x} - \frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}}{4 \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x} - \frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{\frac{d}{d x} 4 \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \tan{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \tan^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{2 \tan{\left(x \right)}}{x^{3}}}{4 \tan^{2}{\left(x \right)} + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \tan{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \tan^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{2 \tan{\left(x \right)}}{x^{3}}}{4 \tan^{2}{\left(x \right)} + 4}\right)$$
=
$$\frac{1}{6}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ /tan(x)\\
|log|------||
| \ x /|
lim |-----------|
x->0+| 2 |
\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
1/6
$$\frac{1}{6}$$
= 0.166666666666667
/ /tan(x)\\
|log|------||
| \ x /|
lim |-----------|
x->0-| 2 |
\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
1/6
$$\frac{1}{6}$$
= 0.166666666666667
= 0.166666666666667
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{1}{6}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{1}{6}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{\log{\left(\tan{\left(1 \right)} \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{\log{\left(\tan{\left(1 \right)} \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{1}{6}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{\log{\left(\tan{\left(1 \right)} \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{\log{\left(\tan{\left(1 \right)} \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
Más detalles con x→-oo