Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sin{\left(5 x \right)} + \tan{\left(9 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin{\left(5 x \right)} + \tan{\left(9 x \right)}}{3 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin{\left(5 x \right)} + \tan{\left(9 x \right)}}{3 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \sin{\left(5 x \right)} + \tan{\left(9 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 3 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{3} + 3 \tan^{2}{\left(9 x \right)} + 3\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{3} + 3 \tan^{2}{\left(9 x \right)} + 3\right)$$
=
$$\frac{4}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)