Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(1 - e^{x}\right) e^{x}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{4 - x} - 2\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{2 x}}{\sqrt{4 - x} - 2}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(1 - e^{x}\right) e^{x}}{\sqrt{4 - x} - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - e^{x}\right) e^{x}}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{4 - x} - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 2 \sqrt{4 - x} \left(\left(1 - e^{x}\right) e^{x} - e^{2 x}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(8 e^{2 x} - 4 e^{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(8 e^{2 x} - 4 e^{x}\right)$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)