Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x! = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(\left(2 x + 1\right)!\right)! = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x!}{\left(\left(2 x + 1\right)!\right)!}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x!}{\frac{d}{d x} \left(\left(2 x + 1\right)!\right)!}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{2 \Gamma\left(2 x + 2\right) \Gamma\left(\left(2 x + 1\right)! + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,2 x + 2 \right)} \operatorname{polygamma}{\left(0,\left(2 x + 1\right)! + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{2 \Gamma\left(2 x + 2\right) \Gamma\left(\left(2 x + 1\right)! + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,2 x + 2 \right)} \operatorname{polygamma}{\left(0,\left(2 x + 1\right)! + 1 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)