Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+e^x)/x
-
Límite de x^2*log(x)
-
Límite de (3-sqrt(5+x))/(1-sqrt(5-x))
-
Límite de x^2
-
Expresiones idénticas
- (- dos +sqrt(cuatro +x+x^ dos))/(uno +x)
- ( menos 2 más raíz cuadrada de (4 más x más x al cuadrado )) dividir por (1 más x)
- ( menos dos más raíz cuadrada de (cuatro más x más x en el grado dos)) dividir por (uno más x)
- (-2+√(4+x+x^2))/(1+x)
- (-2+sqrt(4+x+x2))/(1+x)
- -2+sqrt4+x+x2/1+x
- (-2+sqrt(4+x+x²))/(1+x)
- (-2+sqrt(4+x+x en el grado 2))/(1+x)
- -2+sqrt4+x+x^2/1+x
- (-2+sqrt(4+x+x^2)) dividir por (1+x)
-
Expresiones semejantes
- (-2-sqrt(4+x+x^2))/(1+x)
- (-2+sqrt(4+x+x^2))/(1-x)
- (-2+sqrt(4-x+x^2))/(1+x)
- (2+sqrt(4+x+x^2))/(1+x)
- (-2+sqrt(4+x-x^2))/(1+x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x+x^2)-sqrt(x^2-x)
- sqrt(1-x+4*x^2)-2*x
- sqrt(8+x^2+4*x)-x
- sqrt(1-cos(2*x))/|x|
- sqrt(-1+x)
Límite de la función (-2+sqrt(4+x+x^2))/(1+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ____________\
| / 2 |
|-2 + \/ 4 + x + x |
lim |--------------------|
x->1+\ 1 + x /
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right)$$
Limit((-2 + sqrt(4 + x + x^2))/(1 + x), x, 1)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x^{2} + x + 4} + 2$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1} \left(\sqrt{x^{2} + x + 4} + 2\right)}{\sqrt{x^{2} + x + 4} + 2}$$
=
$$\frac{x^{2} + x}{\left(x + 1\right) \left(\sqrt{x^{2} + x + 4} + 2\right)}$$
=
$$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x + 4} + 2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x + 4} + 2}\right)$$
=
$$- \frac{1}{4}$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x^{2} + x + 4} + 2$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1} \left(\sqrt{x^{2} + x + 4} + 2\right)}{\sqrt{x^{2} + x + 4} + 2}$$
=
$$\frac{x^{2} + x}{\left(x + 1\right) \left(\sqrt{x^{2} + x + 4} + 2\right)}$$
=
$$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x + 4} + 2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x + 4} + 2}\right)$$
=
$$- \frac{1}{4}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\sqrt{x^{2} + x + 4} - 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x + 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x^{2} + x + 4} - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{x^{2} + x + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{- \frac{x}{4} - \frac{1}{8}}{x + \frac{1}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{- \frac{x}{4} - \frac{1}{8}}{x + \frac{1}{2}}\right)$$
=
$$- \frac{1}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\sqrt{x^{2} + x + 4} - 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x + 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x^{2} + x + 4} - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{x^{2} + x + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{- \frac{x}{4} - \frac{1}{8}}{x + \frac{1}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{- \frac{x}{4} - \frac{1}{8}}{x + \frac{1}{2}}\right)$$
=
$$- \frac{1}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ ____________\
| / 2 |
|-2 + \/ 4 + x + x |
lim |--------------------|
x->-1+\ 1 + x /
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right)$$
-1/4
$$- \frac{1}{4}$$
= -0.25
/ ____________\
| / 2 |
|-2 + \/ 4 + x + x |
lim |--------------------|
x->-1-\ 1 + x /
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right)$$
-1/4
$$- \frac{1}{4}$$
= -0.25
= -0.25
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right) = - \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→-1 a la izquierda
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right) = - \frac{1}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right) = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right) = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→-1 a la izquierda
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right) = - \frac{1}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right) = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right) = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + \left(x + 4\right)} - 2}{x + 1}\right) = -1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico